由半角公式及三角恒等式，结合已知条件 $ a + b = 10 $，$ c = 8 $，利用三角形的半周长 $ s = frac{a+b+c}{2} = 9 $，可得：
$$
tanfrac{A}{2}tanfrac{B}{2} = frac{(s-b)(s-a)}{s(s-c)} = frac{(9-b)(9-a)}{9(1)}
$$
又 $ a + b = 10 $，设 $ a = x $，则 $ b = 10 - x $，代入得：
$$
frac{(9 - (10 - x))(9 - x)}{9} = frac{(x - 1)(9 - x)}{9}
$$
展开：$ (x - 1)(9 - x) = -x^2 + 10x - 9 $，最大值在 $ x = 5 $ 时取得，此时 $ a = b = 5 $，为等腰三角形。
代入得：
$$
tanfrac{A}{2}tanfrac{B}{2} = frac{(5-1)(5-5+4)}{9} = frac{4 cdot 4}{9} = frac{16}{9} quad text{错！}
$$
正确计算：当 $ a = b = 5 $，$ c = 8 $，半角公式：
$$
tanfrac{A}{2} = sqrt{frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} = sqrt{frac{(9-5)(9-8)}{9(9-5)}} = sqrt{frac{4 cdot 1}{9 cdot 4}} = sqrt{frac{1}{9}} = frac{1}{3}
$$
同理 $ tanfrac{B}{2} = frac{1}{3} $，故乘积为 $ frac{1}{3} cdot frac{1}{3} = frac{1}{9} $。
但这是单个值，题目要的是表达式值。
实际上有恒等式：
$$
tanfrac{A}{2}tanfrac{B}{2} = frac{s - c}{s} = frac{9 - 8}{9} = frac{1}{9}
$$
$ boxed{dfrac{1}{9}} $
$$
tanfrac{A}{2}tanfrac{B}{2} = frac{(s-b)(s-a)}{s(s-c)} = frac{(9-b)(9-a)}{9(1)}
$$
又 $ a + b = 10 $，设 $ a = x $，则 $ b = 10 - x $，代入得：
$$
frac{(9 - (10 - x))(9 - x)}{9} = frac{(x - 1)(9 - x)}{9}
$$
展开：$ (x - 1)(9 - x) = -x^2 + 10x - 9 $，最大值在 $ x = 5 $ 时取得，此时 $ a = b = 5 $，为等腰三角形。
代入得：
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tanfrac{A}{2}tanfrac{B}{2} = frac{(5-1)(5-5+4)}{9} = frac{4 cdot 4}{9} = frac{16}{9} quad text{错！}
$$
正确计算：当 $ a = b = 5 $，$ c = 8 $，半角公式：
$$
tanfrac{A}{2} = sqrt{frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} = sqrt{frac{(9-5)(9-8)}{9(9-5)}} = sqrt{frac{4 cdot 1}{9 cdot 4}} = sqrt{frac{1}{9}} = frac{1}{3}
$$
同理 $ tanfrac{B}{2} = frac{1}{3} $，故乘积为 $ frac{1}{3} cdot frac{1}{3} = frac{1}{9} $。
但这是单个值，题目要的是表达式值。
实际上有恒等式：
$$
tanfrac{A}{2}tanfrac{B}{2} = frac{s - c}{s} = frac{9 - 8}{9} = frac{1}{9}
$$
$ boxed{dfrac{1}{9}} $