在△ABC中，AB=BC=10，点M、N在BC上，使得MN=AM=4，角MAC=角BAN，求三角形ABC的面积-爱科技问答

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在△ABC中，AB=BC=10，点M、N在BC上，使得MN=AM=4，角MAC=角BAN，求三角形ABC的面积

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19900317yaoye

因为AB=BC 所以∠BAC=∠C 又∠MAC=∠BAN 所以2∠MAC+∠NAM=∠C 又MN=AM 所以∠NAM=∠ANM 又∠AMN=∠MAC+∠C ∠AMN=180°-2∠NAM 即∠MAC+∠C=180°-2∠NAM ∠MAC+2∠MAC+∠NAM=180°-2∠NAM 所以∠BAM=∠NAC=∠MAC+∠NAM=60° 过B作BG⊥AM于G,过C作CH⊥AM于H 在RT△ABG中，AB=10,∠BAG=60° 所以BG=5根号3 根据余弦定理可求得BM=2根号19,CM=10-2根号19 所以CH/BG=CM/BM,可求得CH=5根号3（10-2根号19）/2根号19 所以三角形ABC的面积=1/2*AM*(BG+CH)=1/2*4*[5根号3+5根号3（10-2根号19）/2根号19]=2*5根号3[1+（10-2根号19）/2根号19]=2*5根号3*10/2根号19=50根号57/19
ixxoo

我一开始也没头绪，后来想到既然AB=BC=10，那这其实是个以B为顶点的等腰三角形，所以角A和角C应该相等。现在M、N在BC上，MN=AM=4，而且还给了角MAC=角BAN，这提示可能有对称性或者角度传递的关系。我尝试设一些变量，比如设BN=y，BM=z，然后利用三角函数把两个角表示出来，让它们相等列方程。同时AM=4可以用余弦定理在△ABM中表达。一步步推下去，或许能解出相关边长，最后用两边及其夹角算面积，或者找高
l080231

这题看起来有点难，但我试着画了个图，发现AB=BC=10，说明△ABC是等腰三角形，顶点是B，底边是AC。然后M、N都在BC上，MN=AM=4，而且角MAC等于角BAN，这个条件很关键。我猜可能是通过构造全等或者相似三角形来找关系。设BM=x，然后用余弦定理算角度，再结合角相等的条件列方程，不过算起来挺复杂的。最后可能需要用海伦公式或者底乘高除以二来求面积，关键是先确定AC的长度或者高的大小
ckcg

网上搜了一下类似题型，发现这种题目常用辅助线解决。比如从A作BC的垂线，设垂足为H，这样就能利用等腰三角形三线合一的性质，AH就是高。接下来考虑点M、N的位置，由于MN=AM=4，且角MAC=角BAN，可能意味着△AMN和某个三角形有特殊关系。也可以尝试用坐标法，把B放在原点，C在(10,0)，因为BC=10，再根据AB=10确定A的坐标，设A(x,y)满足距离条件。然后设M、N在BC上线段上，通过向量或斜率表示角相等，联立方程求解，最后代入面积公式计算

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