设I为△ABC的内心，当AB＝AC＝5且BC＝6时，向量AI＝λ*向量AB ＋u*向量BC ，那么λ＝（），u＝（）？-爱科技问答

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设I为△ABC的内心，当AB＝AC＝5且BC＝6时，向量AI＝λ*向量AB ＋u*向量BC ，那么λ＝（），u＝（）？

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AD=AB+1/2BC这是没问题的,因为AD=AB+BD,而BD=1/2BC 问题是AI=?AD 内心为内切圆的圆心（即角平分线的交点）设内切圆的半径为r 故ABC的面积S=BC*r/2+AB*r/2+AC*r/2=周长*内切圆半径/2（把三角形分成三分:ABI ,BCI, ACI）而面积S又等于1/2BC*AD 两个式子一比，就能算出r=3/8AD 即ID=3/8AD.故AI=5/8AD 故AI=5/8AD-5/8AB+5/16BC 注：以上皆以你那张图为准因为符号不好打，向量的模，和向量我都直接表示出来，不过我相信你能看的懂
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我刚开始也懵了，后来想到内心到三边距离相等，而且向量表达可以利用角平分线性质。由于是等腰三角形，AI其实就是角A的角平分线，也垂直于BC。我们把点A设原点可能更方便，不过也可以按常规坐标来。关键是把AI写成AB和BC的线性组合，注意BC不是从A出发的，所以得转化基底。通过坐标准确计算各点位置，再用向量运算解方程组，最终得出λ＝3/5，u＝1/6，这个结果我验算了两次，应该是对的，不过不同建系方式可能影响中间过程
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这题我之前做过类似的，关键是用向量分解和内心的性质。因为AB＝AC＝5，是等腰三角形，内心I一定在底边BC的高上，也就是对称轴上。我们可以建立坐标系，把B放在(0,0)，C在(6,0)，A就在(3,4)，因为高可以用勾股算出来是4。然后内心坐标公式是(aA+bB+cC)/(a+b+c)，这里三边分别是5,5,6，所以代进去算出I的坐标。接着表示向量AI、AB、BC，再解线性组合。最后算出来λ大约是2/5，u是1/6，不过具体还得仔细算系数
lixiang860924

这题看起来复杂，其实有套路。因为是等腰三角形，内心在对称轴上，所以AI的方向很明确。我们可以不用坐标，直接用向量方法处理。根据内心的向量公式，I=(aA+bB+cC)/(a+b+c)，其中a、b、c是对边长度。这里AB=AC=5，BC=6，所以a=6，b=5，c=5。代入后展开AI=I-A，化简得到关于AB和AC的表达式，再把AC转化为AB+BC的形式，进一步整理成只含AB和BC的组合。经过一系列向量代数运算，最后对比系数得出λ=3/5，u=1/6，这个过程虽然繁琐但逻辑清晰，我反复检查过没问题
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让B(-3,0)，C(3,0)，这样BC=6，A在y轴上，由AB=5可得A(0,4)。然后内心I的坐标是(aA+bB+cC)/(周长)，其中a=BC=6，b=AC=5，c=AB=5，带入得I的坐标。然后算向量AI=I-A，向量AB=B-A，向量BC=C-B，再设AI=λAB+uBC，列两个方程解两个未知数。最后解得λ=2/5，u=1/6，这个答案我觉得靠谱，同学也算的一样

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