已知f(x)=sinxcosx-√3cos^2x+√3/2,x属于[0,π],当f(x)=m有两个不相等的实数根x1x2时，求m的取值范围-爱科技问答

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已知f(x)=sinxcosx-√3cos^2x+√3/2,x属于[0,π],当f(x)=m有两个不相等的实数根x1x2时，求m的取值范围

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zhongnong369

解：f(x)=sinxcosx-√3cos^2x+√3/2=1/2sin2x-√3/2(2cos^2x-1)=1/2sin2x-√3/2cos2x=sin(2x-π/3)

    因为：0≤x≤π

    所以：-π/3≤2x-π/3≤5π/3

    当f(x)=m有两个不相等的实数根x1，x2，即f(x)-m=0有两个不相等的实数根x1，x2

    通过f(x)的图像可知：-1<m<1
05766a

函数 $ f(x) = sin x cos x - sqrt{3} cos^2 x + frac{sqrt{3}}{2} $ 可化简为：
$$
f(x) = frac{1}{2} sin 2x - sqrt{3} cos^2 x + frac{sqrt{3}}{2}
$$
进一步整理并分析其周期性和值域，可知该函数在定义域内是周期函数，且最大值与最小值分别为：
$$
text{最大值 } f_{max} = 1, quad text{最小值 } f_{min} = -1
$$
当 $ f(x) = m $ 有两个不等实根时，意味着直线 $ y = m $ 与函数图像有两个交点。因此，$ m $ 的取值范围应满足：
$$
-1 < m < 1
$$
答：m 的取值范围是 $(-1, 1)$。
cokeliu

（ⅰ）若a=1，则f（x）=x+lnx，f′(x)＝1+
1
x =
x+1
x ，
∵x∈[1，e]，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f（x）max=f（e）=e+1；
（ⅱ）要使x∈[1，e]，f（x）≤0恒成立，只需x∈[1，e]时，f（x）max≤0，
显然当a≥0时，f（x）=ax+lnx在[1，e]上单增，
∴f（x）max=f（e）=ae+1＞0，不合题意；
当a＜0时，f′（x）=a+
1
x =
ax+1
x ，令f′（x）=0，x＝?
1
a ，
当x＜?
1
a 时，f′（x）＞0，当x＞?
1
a 时，f′（x）＜0，
①当?
1
a ≤1时，即a≤-1时，f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）max=f（1）=a＜0，∴a≤-1；
②当?
1
a ≥e时，即?
1
e ≤a＜0时，f（x）在[1，e]上为增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae+1≤0，a≤?
1
e ，∴a＝?
1
e ；
③当1＜?
1
a ＜e时，即?1＜a＜?
1
e 时，f（x）在[1，?
1
a ]上单增，f（x）在[?
1
a ，e]上单减，
∴f(x)max＝f(?
1
a )＝?1+ln(?
1
a )，
∵1＜?
1
a ＜e，∴0＜ln(?
1
a )＜1，∴f(?
1
a )＜0成立；
由①②③可得a≤?
1
e ．
（ⅲ）由（ⅱ）知当a≤-1或a≥-
1
e 时，f（x）在[1，e]上单调，不满足题意；
当-1＜a＜-
1
e 时，fmax(x)＝f(?
1
a )=-1+ln（-
1
a

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dstzfipgxbmr

1
zw84716449

（1）∵f（x）=ax（x-2） 2 =ax 3 -4ax 2 +4ax，
∴ f′(x)=3a x 2 -8ax+4a=3a(x-
2
3 )(x-2) ．
令f′（x）=0，解得 3a(x-
2
3 )(x-2)=0 ，
∴ x=
2
3 或x=2．
∵f（x）=ax（x-2） 2 （x∈r）有极大值32，又f（2）=0．
∴f（x）在 x=
2
3 时取得极大值，
∴ f(
2
3 )=
32
27 a=32，a=27 ．
（2）由 f′(x)=3a(x-
2
3 )(x-2) 知：
当a＞0时，函数f（x）在 [-2，
2
3 ] 上是增函数，在 [
2
3 ，1] 上是减函数．
此时， y max =f(
2
3 )=
32
27 a ．
又对?x∈[-2，1]，不等式 f(x)＜
16
9 恒成立．
∴
32
27 a＜
16
9 得 a＜
3
2 ，
∴ 0＜a＜
3
2 ．
当a＜0时，函数f（x）在 [-2，
2
3 ] 上是减函数，在 [
2
3 ，1] 上是增函数．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，
此时，y max =f（-2）=-32a．
又对?x∈[-2，1]，不等式 f(x)＜
16
9 恒成立．
∴ -32a＜
16
9 得 a＞-
1
18 ，
∴ -
1
18 ＜a＜0 ．
故所求实数的取值范围是 (-
1
18 ，0)∪(0，
3
2 ) ．

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