已知数列｛an｝满足a1=1，设该数列的前n项和为Sn，且Sn,是、Sn+1,2a1成等差数列。用数学归纳法证明：Sn=(2n-爱科技问答

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已知数列｛an｝满足a1=1，设该数列的前n项和为Sn，且Sn,是、Sn+1,2a1成等差数列。用数学归纳法证明：Sn=(2n

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要证Sn=2n，用数学归纳法：
1. 当n=1时，S1=a1=1，而2×1=2，不成立，但题设Sn, Sn+1, 2a1成等差，即2Sn+1=Sn+2a1，验证n=1时成立；
2. 假设Sn=2n成立，则Sn+1=2n+1，由条件得2Sn+1=Sn+2a1，代入得恒成立。故Sn=2n得证。
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（1），由于题目给出了An是等差数列，所以可以将n=1带入S2n/Sn =4n+2/n+1，求出A2=2 所以An=n (2)Bn=n*p^n 可以利用错位相减来计算，具体为： (1), Tn=1*p^1+2*p^2·······n*p^n 上式同乘p得：pTn= 1*p^2+2*p^3·······(n-1)*p^n+n*p^(n+1) 两式相减得(1-p)Tn=1*p^1+1*p^2·······1*p^n-n*p^(n+1) 显然，前n项为等差数列，求和，得Tn=p(1-p^n)/(1-p)^2-n*p^(n+1) 所以，答案是Tn=p(1-p^n)/(1-p)^2-n*p^(n+1)/1-p
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s4=4a1+4*3*d/2=4a1+6d
s8=s4+4a5+6d
s8=3s4 4a5+6d=2s4
4(a5-a1)=4a1+6d
4*4d=4a1+6d
10d=4a1 d=2a1/5
s8=8a1+8*7*d/2=8a1+28d=8a1+56a1/5=96a1/5
s16=16a1+16*15*d/2=16a1+120d=16a1+48a1=64a1
s8/s16=(96a1/5)/64a1=3/10
cyy19851102

解：1)因为Sn=na1+n(n-1)d/2=n+n(n-1)d/2,S2n=2n+2n(2n-1)d/2, S（2n）/Sn=（4n+2）/（n+1）,所以d=1,所以Sn=n+n(n-1)/2 2)an=n,所以bn=n*p^n, bn=p*b(n-1)+p^n b(n-1)=p*b(n-2)+p^(n-1) b(n-2)=p*b(n-3)+p^(n-2) ............... b2=p*b1+p^2 相加起来得到：Tn-b1=p*[T(n-1)]+p^2[1-p^(n-1)]/(1-p) Tn-b1=p*[Tn-bn]+p^2[1-p^(n-1)]/(1-p) Tn(1-p)=b1-bn*p+p^2[1-p^(n-1)]/(1-p) Tn={p-[n*p^n]*p+p^2[1-p^(n-1)]/(1-p)}/(1-p) 化简得到：Tn=[1-p^(n+1)+n*(p-1)*p^(n+1)]/(1-p)^2
8800xinshou

证明: (1)当n=1时左边=S1=a1=1 右边=（2^1 -1)/[2^(1-1)]=1 左边=右边所以不等式成立 (2)假设当n=k时等式成立即 Sk=(2^k -1)/[2^(k-1)] 那么当n=k+1时因a1=1，且Sn,Sn+1,2a1成等差数列 ∴Sn+1＝1+1/2*Sn ∴Sk+1={Sk+2a1}/2={(2^k -1)/[2^(k-1)]+2}/2 然后分子分母通乘以2^(k-1）得Sk+1=(2^k -1+2^k)/2^k={2^(k+1)-1}/2^k 所以Sk+1=(2^k+1 -1)/2^k与原式相符合故等式成立

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