设这个数为 $ N = underbrace{111ldots1}_{111个1} $。
由于 $ 6 = 2 times 3 $，我们分别考虑模2和模3的余数：
- 模2：所有奇数位为1，所以末位是1，$ N equiv 1 mod 2 $。
- 模3：各位数字和是111，$ 111 div 3 = 37 $，能被3整除，$ N equiv 0 mod 3 $。
由中国剩余定理，得 $ N equiv 3 mod 6 $，即余数是3。
再看商的末尾数字：
因为 $ N = 6q + 3 $，即 $ q = frac{N - 3}{6} $。
观察 $ N - 3 $ 是一个110个1后面跟8组成的数（如111 - 3 = 108），能被6整除，说明商的最后一位是8。
最终余数与商末尾数字之和是 $ 3 + 8 = 11 $。
由于 $ 6 = 2 times 3 $，我们分别考虑模2和模3的余数：
- 模2：所有奇数位为1，所以末位是1，$ N equiv 1 mod 2 $。
- 模3：各位数字和是111，$ 111 div 3 = 37 $，能被3整除，$ N equiv 0 mod 3 $。
由中国剩余定理，得 $ N equiv 3 mod 6 $，即余数是3。
再看商的末尾数字：
因为 $ N = 6q + 3 $，即 $ q = frac{N - 3}{6} $。
观察 $ N - 3 $ 是一个110个1后面跟8组成的数（如111 - 3 = 108），能被6整除，说明商的最后一位是8。
最终余数与商末尾数字之和是 $ 3 + 8 = 11 $。