直线 $ l $ 可化简为 $ (2m+1)x + (m+1)y = 7m $。要求其与圆 $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 $ 的关系，可计算圆心 $ (1,2) $ 到直线的距离 $ d $ 是否小于半径 5。代入公式 $ d = frac{|(2m+1)cdot1 + (m+1)cdot2 - 7m|}{sqrt{(2m+1)^2 + (m+1)^2}} $，化简后判断 $ d $ 与 5 的大小关系即可确定位置关系。
将y=kx+1代入圆方程：(1+k^2)x^2+(4k-2)x-7=0，
由于(4k-2)^2-4*(1+k^2)*(-7)=(4k-2)^2+28k^2+28>28>0
所以：(1+k^2)x^2+(4k-2)x-7=0，有两个解，即直线与圆有两个交点
第二问不会
k1+k2+k1*k2=-1 => (k1+1)(k2+1)=0
k1=-1 或者k2=-1
轨迹为 斜率为-1的切线
过圆心做切线的垂线，斜率为1，过圆心(3,4)
垂线方程为 y-4=x-3, 所以 y=x+1
代人圆方程，找到切点
2(x-3)^2=16，所以 x=3+2根号2或 x=3-2根号2
切点为 (3+2根号2,4+2根号2) , (3-2根号2,4-2根号2)
切线为 y-(4+2根号2)=-(x-3-2根号2) : x+y-7-4根号2=0
y-(4-2根号2)=-(x-3+2根号2) : x+y-7+4根号2=0
所以轨迹为 x+y-7-4根号2=0，x+y-7+4根号2=0 不包括两切点 (3+2根号2,4+2根号2) , (3-2根号2,4-2根号2)