化简函数：
$ y = sin^2 x + 2sin x cos x + 3cos^2 x $
利用公式：
$ sin^2 x + cos^2 x = 1 $，$ 2sin x cos x = sin 2x $，
得：
$ y = 1 + 2cos^2 x + sin 2x $。
进一步化简为：
$ y = sin 2x + cos 2x + 2 $。
令 $ y = sqrt{2} sin(2x + frac{pi}{4}) + 2 $。
- 最大值：$ 2 + sqrt{2} $
- 最小值：$ 2 - sqrt{2} $
- 递增区间：当 $ 2x + frac{pi}{4} in $，即 $ x in $（$ k in Z $）。
$ y = sin^2 x + 2sin x cos x + 3cos^2 x $
利用公式：
$ sin^2 x + cos^2 x = 1 $，$ 2sin x cos x = sin 2x $，
得：
$ y = 1 + 2cos^2 x + sin 2x $。
进一步化简为：
$ y = sin 2x + cos 2x + 2 $。
令 $ y = sqrt{2} sin(2x + frac{pi}{4}) + 2 $。
- 最大值：$ 2 + sqrt{2} $
- 最小值：$ 2 - sqrt{2} $
- 递增区间：当 $ 2x + frac{pi}{4} in $，即 $ x in $（$ k in Z $）。